| Шиян Т.А. Проблемы интерпретации математической символики, возникающие на стыке формально-математического и «исторического» подходов к изучению формальных теорий // taras-shiyan.narod.ru. 2003. |
Сложности, о которых пойдет речь, возникают на стыке формально-математического и «исторического» подходов к изучению одного из классов математических объектов – так называемых формальных теорий. Рассматриваемые сложности связаны с трактовкой «формальной теории» как семиотического объекта особого вида: формальной теорией называется множество формул некоторого формального языка, отвечающее условию дедуктивной замкнутости.
В современной символической логике используется и изучается целый ряд теория-подобных объектов (ТПО) – математических объектов, которые могут рассматриваться как модели или проекты теорий: исчисления, формальные теории, логические матрицы, логические модели, алгебры и т.п. В современной логике ТПО являются не только основной формой фиксации логических знаний, но и основным объектом изучения. Во второй половине XX века было показано существование (в универсуме математики) бесконечных (в т.ч., более чем счетных) классов ТПО. Даже количество явно описанных в литературе ТПО одного типа исчисляется, по крайней мере, сотнями. В результате в современной логике возник класс задач по сравнению различных ТПО.Введение сравниваемых объектов внутрь конкретного компаративного исследования может осуществляться двумя путями. Первый путь – мы с нуля задаем объекты последующего исследования, постулируем определенные отождествления / различения («по построению») частей этих объектов, и далее устанавливаем соответствия между объектами с привлечением тех или иных логико-математических средств. Здесь никаких эмпирических или герменевтических проблем не возникает, эти вопросы выносятся за рамки исследования и снимаются за счет исходного отождествления / различения «по построению». Данный подход удобен, когда мы сравниваем небольшое количество ТПО. При этом акцент делается на формальные методы сравнения, а не историческое исследование уже описанных в литературе ТПО. Этот подход не удобен, если мы сравниваем достаточно большое количество ТПО и опираемся существенным образом на ранее полученные для них результаты, и не приемлем, если мы рассматриваем наше исследование как историческое. Второй путь – мы рассматриваем сравниваемые ТПО как уже данные (в тех или иных научных текстах). Здесь часто возникает вопрос: в двух данных текстах описан один и тот же ТПО или разные, и на каком основании я могу это утверждать (кроме личной прихоти и подгонки под результаты). Эти вопросы невозможно обойти при изучении тех ТПО, которые задаются как формальные знаковые объекты, в частности при сравнении формальных теорий.
Сложность не в том, что некоторые формальные теории в разных текстах (даже одного автора) иногда выступают под разными именами (например, силлогистические системы С3.1 и С3+ в книге [Маркин 1991]), а одно название иногда (опять же, даже в разных текстах одного автора) используется для обозначения разных теорий (ОФС в книге [Маркин 1991] и ОФС в его последующих статьях, С1+ в [Мчедлишвили 1986] и С1+ в [Маркин 1991]). На этом уровне соотношение теорий может быть установлено с применением только точных методов. Но, чтобы сравнивать формальные теории, нужно сперва установить соотношение тех языков, в которых они сформулированы. Так, у разных авторов конъюнкция передается знаками «&» и «/\», отрицание – тильдой («~») и «кочергой», импликация – «стрелкой» и «подковой», силлогистические связки – буквами «a» и «A», «i» и «I», «t» и «T» и т.д. Например, в [Мчедлишвили 1986] в качестве «общих» терминов силлогистического языка используются латинские буквы и B(без индексов или с нижними индексами), а в [Маркин 1991] S, Pи M(также с индексом или без). Встречаются различия и на синтаксическом уровне, например элементарные силлогистические высказывания в [Маркин 1991] передаются как «SaP», «SeP» и т.п., а в работах В.А. Смирнова обычно как «ASP», «ESP» и т.п. (например, [Смирнов 1987]).
Обычно содержательных проблем здесь не возникает, все необходимые различения и отождествления проводятся adhocи не тематизируются в тексте. Так поступают при введении объектов с нуля и за счет принятия некоторых не фиксируемых явно пресуппозиций. Тем не менее, не сложно тематизировать и даже формализовать ситуацию: задать отображение или отношение между формальными языками из разных текстов, которое будет фиксировать произведенные нами ранее различения / отождествления. Например, при задании отношения (отображения) тождества между алфавитами и выражениями формальных силлогистических языков из упоминавшихся выше работ мы должны явно указать, что «A» в [Смирнов 1987] и «a» в [Маркин 1991] есть один и тот же знак, а «A» в [Смирнов 1987] и «A» в [Мчедлишвили 1986] – разные знаки (хотя с общекультурной точки зрения все наоборот). После мы говорим, что рассматриваем формальные языки и теории с точность до этого отношения (отображения) тождества. Именно такой ход был сделан мной в [Шиян 2002]. Оба эти пути локализации задачи отождествления / различения позволяют, во-первых, избежать анализа осуществляемой при этом семиотической деятельности и, во-вторых, обеспечивают достаточные формальные основания для дальнейшего применения логико-математических методов. При этом остается открытым вопрос, который хотя и возник из реальной логико-математической практики и по поводу этой практики, сам уже находится вне математики и современной логики: на какие семиотические, смысловые, деятельностные характеристики формально-семиотических конструкций мы опираемся, производя те или иные отождествления / различения частей этих конструкций? Вопрос этот имеет явное герменевтическое звучание.
Разрабатывать эту тематику можно в нескольких направлениях. Остановлюсь на одном: можно попытаться отрефлексировать и проанализировать ту семиотическую деятельность, которая осуществляется при построении формальных конструкций и вообще при формальной математической деятельности. Выделить два слоя семиотической деятельности. Внешний слой – общая (общекультурная, реальная) семиотическая деятельность, в которой возникают и функционируют все реальные социальные знаковые системы. Это тот слой, в котором «А» и «а», «&» и «/\», «SeP» и «ESP» – безусловно, разные знаки. Другой слой – формальная знаковая деятельность. Она берет из внешнего слоя значки, не полноценные знаки, нечто обозначающие, а только графемы, лишенные прежней денотации (так, по крайней мере, мыслится). И из этих графем формально работающий математик по своему собственному произволу (по крайней мере, так декларируется) в границах одного текста (или группы референциально связанных текстов) строит конструкции, которые мыслятся как некие знаковые образования. При этом графемы нагружаются теми или иными функциями в рамках данного формализма, и часто оказывается так, что разные во внешнем слое значки выполняют одинаковые функции, а один и тот же значок в разных построениях выполняет разные функции. Но данный анализ лишь частично проясняет ситуацию, т.к. оказывается, что выполнения значками одних и тех же функций внутри формализма еще не достаточно для их отождествления. Например, в логических языках задаются бесконечные списки однотипных (с полностью одинаковыми функциями) знаковых образований, которые, тем не менее, различаются при формальной работе. То есть дополнительно существует некое смысловое поле, которое мнится формально не существующим, но в которое погружен любой формализм и без учета которого адекватное семиотическое понимание реальной формально-математической деятельности невозможно.